线性空间
线性空间（linear space）或称向量空间（vector space）是线性代数中研究的重要对象，是一种代数系统，这种对象是由解析几何中直观的向量几何抽象而来。线性空间中的元素被叫做向量，在公理化中定义的向量不仅局限于空间几何。
对线性空间的研究应用广泛，对线性方程组的研究直接与之相联系。此外，除了在线性代数中研究外，泛函分析中的函数施之函数的运算后也可以成为线性空间，称之为函数空间。
目录
1 向量加法和数乘
2 公理化定义
3 其他性质
4 一些线性空间的例子
5 参见
6 参考资料
向量加法和数乘[]
在定义线性空间之前，我们需要知道两种基本的运算。沿用欧氏几何的传统，向量（线性空间中的元素）依旧习惯上用小写希腊字母
α
,
β
,
γ
,
⋯
{\displaystyle \alpha, \beta, \gamma, \cdots}
表示。
假设集合
V
≠
∅
{\displaystyle V \ne \varnothing}
，
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
为一数域。
向量加法
+
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle +: V \times V \rightarrow V}
，即
∀
α
,
β
∈
V
,
α
+
β
∈
V
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, \alpha + \beta \in V}
。有时为了和一般数的加法相区别，也记作
⊕
{\displaystyle \oplus}
。
数乘（也称标量乘法）
⋅
:
V
×
V
→
V
{\displaystyle \cdot: V \times V \rightarrow V}
，即
∀
α
∈
V
,
k
∈
P
,
k
⋅
α
∈
V
{\displaystyle \forall \alpha \in V, k \in \mathbb{P}, k \cdot \alpha \in V}
。有时为了和一般数的乘法相区别，也记作
⊙
{\displaystyle \odot}
。
公理化定义[]
如果一个代数系统
(
V
;
+
,
⋅
;
P
)
{\displaystyle (V;+,\cdot;\mathbb{P})}
满足下列性质，那么就称为数域
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的一个线性空间。
向量加法的交换律：
∀
α
,
β
∈
V
,
α
+
β
=
β
+
α
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, \alpha + \beta = \beta + \alpha}
向量加法的结合律：
∀
α
,
β
,
γ
∈
V
,
(
α
+
β
)
+
γ
=
α
+
(
β
+
γ
)
{\displaystyle \forall \alpha, \beta, \gamma \in V, ( \alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + ( \beta + \gamma )}
向量加法有零元：
∃
θ
∈
V
,
∀
α
∈
V
,
α
+
θ
=
α
{\displaystyle \exists \theta \in V, \forall \alpha \in V, \alpha + \theta = \alpha}
向量加法有负元：
∀
α
∈
V
,
∃
α
′
∈
V
,
α
+
α
′
=
θ
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \exists \alpha' \in V, \alpha + \alpha' = \theta}
标量乘法对向量加法有分配律
∀
α
,
β
∈
V
,
∀
k
∈
P
,
k
⋅
(
α
+
β
)
=
k
⋅
α
+
k
⋅
β
{\displaystyle \forall \alpha, \beta \in V, \forall k \in \mathbb{P}, k \cdot (\alpha + \beta) = k \cdot \alpha + k \cdot \beta}
标量乘法对域加法有分配律：
∀
α
∈
V
,
∀
k
,
l
∈
P
,
(
k
+
l
)
⋅
α
=
k
⋅
α
+
l
⋅
α
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \forall k,l \in \mathbb{P}, (k + l) \cdot \alpha = k \cdot \alpha + l \cdot \alpha}
标量乘法与标量的域乘法相容：
∀
α
∈
V
,
∀
k
,
l
∈
P
,
(
k
l
)
⋅
α
=
k
⋅
(
l
⋅
α
)
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \forall k,l \in \mathbb{P}, (k l) \cdot \alpha = k \cdot (l \cdot \alpha)}
标量乘法有单位元：
∀
α
∈
V
,
1
⋅
α
=
α
{\displaystyle \forall \alpha \in V, 1 \cdot \alpha = \alpha}
满足以上八条性质便可称其为线性空间，在不引起混淆的情况下
(
V
;
+
,
⋅
;
P
)
{\displaystyle (V;+,\cdot;\mathbb{P})}
也可记为
V
{\displaystyle V}
。
k
⋅
α
{\displaystyle k \cdot \alpha}
也可沿用几何空间中向量数乘的习惯记为
k
α
{\displaystyle k\alpha}
。
其他性质[]
从以上八条基本性质我们可以推出线性空间还具有以下性质：
标量加法零元是唯一的，我们把这个向量
θ
{\displaystyle \theta}
也称为零向量
标量加法对于一个向量的负元也是唯一的：
∀
α
∈
V
,
∃
α
′
∈
V
,
α
+
α
′
=
θ
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \exists \alpha' \in V, \alpha + \alpha' = \theta}
，我们也把
α
′
{\displaystyle \alpha'}
记作
−
α
{\displaystyle -\alpha}
，称为向量
α
{\displaystyle \alpha}
的负向量
∀
α
∈
V
,
0
α
=
θ
{\displaystyle \forall \alpha \in V, 0 \alpha = \theta}
∀
k
∈
P
,
k
θ
=
θ
{\displaystyle \forall k \in \mathbb{P}, k\theta = \theta}
∀
α
∈
V
,
(
−
1
)
α
=
−
α
{\displaystyle \forall \alpha \in V, (-1) \alpha = - \alpha}
∀
α
∈
V
,
∀
k
∈
P
,
k
α
=
0
⇒
k
=
0
{\displaystyle \forall \alpha \in V, \forall k \in \mathbb{P}, k \alpha = 0 \Rightarrow k = 0}
或
α
=
θ
{\displaystyle \alpha = \theta}
∀
α
,
β
,
γ
∈
V
,
α
+
β
=
α
+
γ
⇒
β
=
γ
{\displaystyle \forall \alpha, \beta, \gamma \in V, \alpha + \beta = \alpha + \gamma \Rightarrow \beta = \gamma}
一些线性空间的例子[]
一个二维的实平面（三维的几何空间），其元素为过原点的向量，加上向量的加法和数量乘法，构成
R
2
{\displaystyle \mathbb R^{2}}
（
R
3
{\displaystyle \mathbb R^{3}}
）上的线性空间。更一般地，矩阵的集合
P
m
×
n
{\displaystyle \mathbb{P}^{m \times n}}
加上矩阵的加法和数乘，构成线性空间
(
P
m
×
n
;
+
,
⋅
;
P
)
{\displaystyle (\mathbb{P}^{m \times n}; +,\cdot; \mathbb{P})}
。
数域
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
，其元素就是数域上的数，加上数之间的加法和乘法，构成
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的线性空间
(
P
;
+
,
×
;
P
)
{\displaystyle (\mathbb{P}; +,\times; \mathbb{P})}
。此外数域
P
⊆
F
{\displaystyle \mathbb{P} \subseteq \mathbb{F}}
，那么
F
{\displaystyle \mathbb{F}}
为
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上一线性空间。
多项式集合
P
n
[
x
]
=
{
f
(
x
)
∈
P
[
x
]
|
∂
f
(
x
)
<
n
}
{\displaystyle \mathbb{P}_n [x] = \{ f(x) \in \mathbb{P} [x]~|~\partial f(x) < n \}}
加上多项式的加法以及多项式和
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
中数的乘法构成线性空间。另外，多项式集合替换为
P
n
[
x
]
=
{
f
(
x
)
∈
P
n
[
x
]
|
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbb{P}_n [x] = \{ f(x) \in \mathbb{P}_n [x]~|~f(x)}
的
i
{\displaystyle i}
次项系数为
0
,
i
=
n
−
2
,
⋯
,
2
,
1
,
0
}
{\displaystyle 0, i = n-2, \cdots, 2, 1, 0 \}}
也构成线性空间。
区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上连续函数的全体构成的集合
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle C[a, b]}
加上函数的加法和数乘构成一线性空间。
正实数集合
R
+
{\displaystyle \R^+}
关于正数的乘法（
∀
a
,
b
∈
R
+
,
a
⊕
b
=
a
b
{\displaystyle \forall a, b \in \mathbb{R}^+, a \oplus b = ab}
，作为线性空间中的向量加法）以及正数的实数次幂（
∀
a
∈
R
+
,
∀
k
∈
R
,
k
⊙
a
=
a
k
{\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}^+, \forall k \in \mathbb{R}, k \odot a = a^k}
，作为线性空间中的数乘）构成
R
{\displaystyle \R}
上的一线性空间
(
R
+
;
⊕
,
⊙
;
R
)
{\displaystyle (\mathbb{R}^+; \oplus, \odot; \mathbb{R})}
。
参见[]
上一节：Cramer 法则
下一节：线性空间的维数和基底
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）